Teubner Studienbücher Mathematik- Maß- und Integrationstheorie

In der griechischen Mathematik hat man L ngen, Fl chen, Volumina durch das Ausschopfungsprinzip des EUDOXOS von Knidos (vermutlich 408-355 v. Chr. ) bestimmt: In der Ebene ging man von der Annahme aus, dass die Flache eines Rechteckes das Produkt seiner Seitenlan gen ist, und erhielt durch geschicktes Teilen und Verschieben von Flachenstucken die Flacheninhalte von einfachen Figuren wie Drei ecken, Trapezen, Parallelogrammen usw . . Sollte nun die Flache ei ner komplizierteren Figur K, etwa eines Kreises, bestimmt werden, so suchte man zu jeder positiven Zahl e einfache Figuren Ie und Ae mit Ie c K c Ae derart, dass der Inhalt der einfachen Figur Ae' Ie kleiner als e wurde; fand man nun eine Zahl a mit Inhalt(Ie) a Inhalt(Ae) fur alle e>O, so gab man K den Flacheninhalt a. Es ist einfach zu sehen, dass dieser Begriff des Flacheninhalts additiv ist, d. h. es gilt fur disjunkte K und K, fur die man mittels des Ausschopfung2 1 2 prinzipseinen Inhalt bestimmen kann, dass K u K einen Inhalt hat 1 2 und gilt. Mit der Prazisierung des Grenzwertbegriffs im 19. Jahrhundert konn te diese Idee noch erfolgreicher benutzt werden. Bei der Definition 2 des RIEMANNschen Inhalts einer Menge Kc R verwendet man zur Appro ximation von innen und aussen endliche Vereinidungen von achsenparal - lelen Rechte